В чем состоит смысл понятия авторегрессивности / автокорреляции / персистентности? Расмотрим простейший процесс, в котором последующие приращения зависят от предыдущего. Обозначим приращение в момент времени t — X_t, в момент времени t + 1 — X_t+1. Соответственно, мы хотим, чтобы приращение в момент времени t+1 каким-то образом зависело от предыдущего t. Если выразить такую зависимость качественно, то у нас есть два варианта. Первый вариант Мы предполагаем, что положительное приращение X_t должно увеличивать вероятность положительного приращения в следующий момент времени X_t+1 и аналогично для отрицательного. Проще говоря, Х_t и X_t+1 положительно скоррелированны. Такая модель является «трендовой, персистентной», то есть покупая/продавая то, что растет/падает, мы смещаем вероятность выигрыша в свою сторону. Второй вариант Мы предполагаем, что положительные приращения X_t должны увеличивать вероятность отрицательных в момент времени X_t+1, а отрицательные приращения — положительных. То есть X_t и X_t+1 отрицательно скоррелированны. Такая моделья является «контр трендовой, анти-персистентной», то есть продавая то, что выросло и покупая то, что упало, мы получаем статистическое преимущество. Соответственно, если закодировать эти наблюдения в виде общей формулы мы получим: X_t+1 = C + A*X_t + W_t, где С — это смещение мат. ожидания, A — коэффициент авторегрессии, W — белый (к примеру, гаусовский) шум. Для простоты предположим, что C = 0; тогда при A \u003e 0 получим первый вариант из расмотренных выше, а при A 1, модель теряет устойчивость, что характеризуется взрывным (экспоненциальным) ростом/падением или расширяющимися колебаниями с экспоненциальным ростом амплитуды. Если еще больше расширить модель, то в общем случае она может зависеть от нескольких значений в предыдущей истории, то есть зависимость будет иметь вид: X_t+1 = C + A1*X_t + A2*X_t-1 + A3*X_t-2 +… + Ai*X_t-i-1, но мы ограничимся рассмотрением случая с единичным лагом и C=0 как наиболее характерного. Теперь рассмотрим, как этот простейший пример будет выглядеть. Для этого возьмем исходный гауссовский шум: 101842 И применим к нему нашу AR(1) (авторегрессивность с 1 лагом) модель с С=0 и с различными значениями A. При A=0.9 получим следующее (сверху — результат авторегрессивной модели приращений, снизу — интеграл этих приращений + аддативный шум, то есть приближение к случайному блужданию рыночной модели): 101843 Та же самая модель при A=0.15: 101844 Зависимость слабая, но несмотря на это, хорошо видно, как возникают локально-трендовые участки на графике. Так жеесли мы построим облако точек, где по оси X — приращение X_t, а по Y — приращение X_t-1, эта зависимость будет отчетливо видна: 101845 Теперь переходим к оставшейся части. Очевидно, что стационарных зависимостей на рынке нет, поэтому автокорреляционная функция приращений имеет тривиальный вид. Из этого следует, что такие зависимости могут быть описаны лишь, в лучшем случае, нестационарными моделями, то есть такими, в которых вид этой локальной зависимости не остается постоянным, а изменяется время от времени. Аналогично введенной в предыдущем посте «Статистические модели трендов. Смещение среднего», мы можем ввести кусочно-постоянную функцию, но на этот раз она будет описывать не смещение среднего, а значение коэффициента регрессии A. Таким образом можно получить участки, на которых авторегрессия носит локально-трендовый характер (A\u003e0), на других — локально-контртрендовый (A\u003c0), чтобы в конечном итоге удовлетворить наше условие тривиальности АКФ.
В чем суть — два товарища из Сан-Франциского ФЕДа (Zheng Liu — a research advisor in the Economic Research Department of the Federal Reserve Bank of San Francisco и Mark M. Spiegel — a vice president in the Economic Research Department of the Federal Reserve Bank of San Francisco), решили провести исследование на тему того, как влияет отношение стареющего населения на P/E. Конкретно в качестве коэффициента старения они взяли логарифм отношения группы 40–49 лет к 60–69 далее M/O. Оригинальная статья авторов Zheng Liu и Mark M. Spiegel размещена здесь. Перевод статьи от slon.ru размещен здесь. Ниже представлена оригинальная картинка из их расчета. Красным — PE, синим — этот коэффициент; слева — исторические данные, справа — предсказание модели. 101827 Теперь они нам утверждают: «Statistical analysis confirms this correlation. In our model, we obtain a statistically and economically significant estimate of the relationship between the P/E and M/O ratios. We estimate that the M/O ratio explains about 61% of the movements in the P/E ratio during the sample period. In other words, the M/O ratio predicts long-run trends in the P/E ratio well. » «Статистический анализ подтвердил эти корреляции. В нашей модели мы получили статистические и экономически значимые оценки взаимосвязи между P/E и M/O(коэффициент старения). Мы оценили, что M/O отношения ОБЪЯСНЯЕТ БОЛЕЕ 61% ДВИЖЕНИЯ В P/E за заданныq период. Другими словами, M/O соотношение предсказывает долгосрочные тренды в P/E.» Собственно, первая мысль, которая возникла и в дальнейшем нашла подтверждение — они опять прогуляли в институте курсы по эконометрике и посчитали корреляцию двух процессов. Чтобы подтвердить гипотезу, пришлось скачать их данные и воспроизвести коэффициенты (та же самая картинка что у них, с кружочками — P/E, без M/O): 101828 Теперь, добравшись до данных, считаем статистически корректно ранковую корреляцию приращений между двумя процессами. Получаем 0.15 (15%) при уровне статистической значимости 90% (то есть вероятность, что данная взаимосвязь получилась чисто случайно составляет ~10%, но это нормально, учитывая малый размер выборки). Прямой тест на коинтеграцию неприменим, так как процессы не unit root (то есть не интегралы белого шума), хотя и близки к нему. Но можно построить линейной регрессией спред, а дальше проверить, насколько статистически значима ECM (error-correction model) репрезентация. Результат получается схожий: значимость вклада спреда в приращения P/E выходит за границы статистической значимости (70%-ая вероятность того, что результат получен чисто случайно). На рисунке ниже по горизонтали изображены приращения P/E, по вертикали — приращения M/O. 101829 В общем, не верьте глазам своим. Несмотря на то, что кажется будто взаимосвязь между ними значительная, если посчитать ее статистически корректно она будет в районе 15% при не высоком уровне статистической значимости. А товарищам из FRBSF должно быть стыдно за то, что они внесли очередной вклад в поток псевдо-экономического шлака, от которого и так уже некуда деваться. Данные и скрипты Вы можете скачать здесь.